反例 2013-1-16 13:30

1

数学上有个叫微分的概念，用于描述函数的局部变化率要说清楚很麻烦，直观理解就是如果此函数在某点可微，那过这点就可以做一条与函数图像相切的直线。比如说y=x^2的函数图像在原点可微，于是过原点可以做一条切线，也就是x轴（红线）

其实y=x^2这个函数是处处可微的。从直观上看，这个图像很光滑，显然过函数上任何一点都能做出切线

那函数在某点不可微是什么情况呢？


 y=|x|^0.5这个函数的图像在x=0处是一个尖角，而一个角是无法做出切线的

因此y=|x|在x=0处不可微，但在其他区域都看起来都很光滑，都是可微的

那有没有可能一个函数处处都不可微呢？在任意一点都无法画出切线的函数？任意一段图像都不光滑的函数？

想象不出来是不是？还是说根本懒得想？

 

那是不是就不存在这样的函数呢？

 

当然存在，不然我写这篇干嘛

下面这个函数的图像局部放大之后与整体自相似，就是说一段看上去似乎是光滑的部分放大之后其实是坎坷不平的，于是可以理解成这个函数每一点处都是个角……然后就处处不可微了

2.

数学上有个叫导数的概念，跟微分关系很大函数上某点的导数就是过这点做的切线的斜率。斜率是什么呢？在3点整的时候时钟的时针是水平的，此时时针的斜率就是0而2点整的时候时针的斜率就是正的。（具体的值是0.5）如果一个函数的斜率在某个区间上处处大于0，那函数在这个区间上就像2点的时针一样朝右上方上升。比如说最开头的y=x^2函数在x>0的时候导数处处大于0，函数图像就是上升的。而y=0这条水平线（也就是x轴）的导数处处为0

那处处导数为0的函数是不是都是水平的呢？

不一定。比如说y=|x|/x

肯定有人觉得我作弊啊怎么可以画一个中间断掉的函数

那处处导数为0的连续函数是不是都是水平的呢？？

当然不是，不然我写这篇干嘛

下面这个函数叫康托尔函数，具体构造不说了（需要用到实变函数里面的测度为0的康托尔三分集），而导数处处为0是此函数的构造的性质之一。此函数看起来并不连续，但是其图像局部放大之后也是与整体自相似，也就是说看起来断掉的地方放大了看是连在一起的。

数学真奇妙有没有。

3．

在 数学中，任何直觉都是靠不住的，很多看起来非常显然的定理都可能需要两三页晦涩难懂的证明之后才能使用。数学是纯逻辑，任何错误都不能出现，一旦使用直觉 就有可能出错。而数学是用逻辑一步一步推演出来的，是确确实实存在的。所以你不可以无法想象无法理解某些东西，就觉得它不对，不好，不存在。

那 现实生活中呢？觉得粉丝的行为狂热得不能理解，那粉丝就都是脑残么？觉得那么多人信逻辑不自洽的宗教不科学，那教徒就都是傻逼么？一个家境尚可运气不错没 遇过大难顺顺利利地活到现在的人觉得他人的苦难跟自己没关系，不理解那些关心社会黑暗面关心政治的人关心那么多干嘛，那那些人就都吃饱了撑着么？一个会考 试的应试教育环境下的既得利益者觉得高考题那么简单都有人考不上一本线很不可思议，那那些二本三本甚至落榜的学生就一无是处了么？

经常看到有人用所谓黑格尔说的“存在即合理”来解释问题。其实这句话根本不是黑格尔的本意。这句话的本意是“存在的都是有原因的，合乎规律的”。（看 过这篇再用“存在即合理”诡辩的人见一个打一个）不能因为自己不能理解使那些东西存在的原因规律，就不正视那些东西的存在。这是一个可以从数学学习中学到 的非常重要的道理，比如做题的时候就不能因为不理解或做不出某道题就断定这题目有问题。让做不出题的学生明白这个道理比让他记住各种解法更有用，但绝大部 分人都没有从数学学习中明白这样的道理。

4.

一 般情况下，察觉到自己想法可能有误是非常困难的。人的想法一般都是从自己的所见中总结而来，但自己的所见不一定能涵盖所有情况。一个原始部落里的人，会觉 得神明肯定存在，因为只能用神明来解释自己不能理解的现象；一个从来不看日漫新番的人，再听闻一些关于二次元的负面消息，就可能认为所有的动漫都无聊卖萌 无节操不值得看；一个没有遇见能让自己崇拜得五体投地泪流满面的偶像的人，就可能觉得追星的人都有毛病；一个外向热情自来熟的人，就可能觉得一个内向的人 拒绝与其来往是因为对方太孤僻……

让 一个人察觉到自己的想法有误，有一个简单粗暴但无比有效的方法：给他一个反例。告诉原始部落里的人除了神明还可以用科学来解释自然；让二次元渣渣论的家伙 看小圆，他各种跪了之后自然不敢一棒子打死；当我遇到陈绮贞，变身为脑残粉之后，我再也不敢歧视粉丝；给外向的家伙看一张漫画，让他们明白被排斥是因为他们侵占了内向者的私人空间……

5.

但没有人会闲得追在你屁股后面让你看各种反例，反例必须自己去找。所以我看书看剧看电影喜欢看各种能毁三观的东西看过《谜一样的双眼》，就能明白人性黑起来是无法用语言形容的看过《被嫌弃的松子的一生》，就能知道每个人背后的故事不一定是你能想象的。看过《黑镜》，就会发现科技带来的伦理问题不一定能用二元论轻易解决。看过……

光靠亲身经历去撞南墙头破血流之后才获得教训是远远不够的所以要多看书文学的重要价值之一就是让每个人不用亲身经历就能获得他人多年经历所产生的思考教训。早一天得到一些教训，就多一天不做蠢事的日子。

6.

有一个问题是始终不能回避的。

——我就要认为自己无法理解的东西不对，不好，不存在，怎样？——那我只能叫你去买本《看见》，然后认真看完。——你个死脑残粉，你叫我买我就买啊？——滚

Jungle

2013.01.16




                               ——————update：2014.02.07——————

7.


——我就要认为自己无法理解的东西不对，不好，不存在，怎样？——后果自己承担